1、看其结论附加，2=“教皇和罗素是1 个人”，并不能推出“罗素就是教皇”，而是推出“教
2、西方的所谓“上帝”其实可以约等于中国的“道”，道生一生二生三生万物。万物之中，有黒有白，有方有圆，有“有”有“无”。有之以为利，无之以为用，因其“有”，成其“利”，因其“无”，成其“用”。翻译成人话就是：“不能”也是上帝“能”的一种。上帝全能，当然能创造出他所“不能”的存有，因为这也是包含在全能之内的。
3、简而言之，宴会的规则预示着这样一个矛盾的现象：“小丑乔治当且仅当他没资格参加宴会的时候，才有资格参加宴会”。这就是一个悖论。
4、我们在学习知识的时候是否思考过这个知识是由何而来的呢？是否注意到了在知识体系这张大网中，每个知识在什么位置上呢？难道我们真的可以单纯的认为每个知识都是孤立的考试对象吗？
5、随着数学结构的研究，数学家发现很多结构和它们之间的映射都是相似，于是又将它们放在一起称为范畴进行研究。随着对范畴的研究，发现它其实是一种基于图的形式语言，并且发现格论不能定义模态词的问题可以用范畴中的伴随来解决。于是大家就在设想是否范畴可代替集合与逻辑成为数学的基础，这件事目前还在研究中...
6、《数学原理》的作者阵容比《数学的原理》扩大了一倍：在罗素的动员下，怀特海成为了合作者。怀特海对数学基础也有浓厚的兴趣，曾于1898年撰写过一本标题为《泛代数》的著作，且有续写的想法。罗素自己的最初打算则是将《数学原理》写成《数学的原理》的第二卷。不过，这两位想写“续集”的作者“强强联合”的结果，是各自抛弃了“前集”，写出了一套篇幅和深度都远超“前集”的独立著作。
7、以上三个法则，如果进一步精简，本质是一回事，用一个词来描述，就是正向反馈或者增强回路。我们有一个认知，产生一个行动，这个行动会影响我们的认知，从而再次产生一个行动。
8、文学家写《数学原理》！有没有搞错？咋可能！获得了诺贝尔文学奖的作家写就的，他不仅仅数学、文学、教育、逻辑学，也是哲学家和历史学家，也拥有反复坐牢、多次婚姻的传奇一生。
9、在这样一个例子中，我们可以看出自指的行为实际上导致了跳出系统的结果。换个更易理解的方式，我们将“没有什么是真理”作为一个程序，这个程序的作用就是将所有遇到的东西都判定为非真理，如果我们在程序系统内，那么永远不会碰到自己，因为一旦碰到自己，程序就摧毁了！
10、1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》，对万有引力和三大运动定律进行阐述，一举奠定了他在物理学历史上无可撼动的地位。今天我们在中学学习的物理，无论是力学、光学还是热学，都是牛顿物理学的范畴。人类在日常生活中所见到的现象乃至于发射卫星、登月，牛顿的物理学定律已经足够了。毫不夸张地说，没有牛顿，就没有物理学。牛顿之后，物理学得到迅猛发展，到了1900年，热力学大师开尔文勋爵宣布说：
11、解铃还需系铃人，为了保住先辈们历尽千辛万苦铸成的数学大厦，罗素也想了很多办法来解决自己提出的罗素悖论。
12、当一只狗发现前往狗屋的日常线路上有一个阻碍物的时候它会绕道而行，正如人们在进行数学演算过程中发现一个悖论后就会反思系统本身可能存在的漏洞。动物也具有这种跳出系统的能力！
13、1976年谢尔登·罗斯(SheldonRoss)在他的《概率论第一课》(AFirstCourseinProbability)介绍了这个问题，所以它被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”(Ross-LittlewoodParadox)。
14、皮亚诺是研究数学基础的先驱人物之在思维方式乃至所采用的数学符号等方面都对罗素有着巨大影响。受此影响，《数学的原理》的写作大为“提速”。那年的最后三个月，罗素几乎以每天10页的速度推进着，年内就完成了数十万字的文稿。在那段被他称为“智力蜜月”的时期里，他不仅写作神速，而且每天都比前一天多领悟到一些东西。
15、我们现有的地质学研究发现，我们远古时期的地球上，已经出现液态海洋和萌芽的生命。但就我们所掌握的关于恒星的知识来看，数十亿年前的太阳，所释放的热量不像现在这么大(关于太阳的过去与未来，请点击阅读《人类应该对未来恐惧吗？》)，也就不足以让处于冰冻状态的地球解冻。矛盾之处在于，假如没有足够热的太阳融化冰，地球上怎么会有液态水呢？
16、人类的惰性之就是愿意呆在舒适区不动。而悖论，除非你视而不见，否则，就跟钉子一样，让你不得不跳出日常依赖之常识的舒适区，去突破自己的知识边界，去运用理性迭代知识。
17、然而, 远在欧几里得之前,在古代巴比伦人、埃及人和希腊人那里, 就已产生了公理化思想的萌芽。公元前六世纪时期, 希腊数学的鼻祖泰勒斯(Thales, 约公元前624 – 公元前547)就把逻辑论证引入于数学之中。及至希伯索斯(Hippasus) 发现无公度线段之后, 毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前580 — 公元前497) 学派即逐步认识到直观、经验和实践并非绝对可靠,希望对过去由经验而直接得到的几何知识都能够用严格的逻辑推理来加以证明。
18、人生的成功有很多评估的维度，做好自己，走好自己的路。希望你一觉醒来正好看到！
19、第三次数学危机涉及到集合论。集合论是在十九世纪下半叶由德国数学家康托尔创立的，很快被数学界广为接受，成为现代数学的基石。大家普遍相信：一切数学成果都可建立在集合论基础上。到了1900年，巴黎举行了第二届国际数学家大会，法国数学家庞加莱很高兴地说：借助集合论，可建造整个数学大厦，数学的绝对的严格性已经达到了！
20、假设你路过一家理发店，标语上写着：“你给自己刮脸么？如果不是，请允许小店帮您刮脸！我只帮城里有所不自己刮脸的人刮脸，其他人一概不刮。”这个简单的介绍足够让你走进这家理发店了，但是接下来你发现了问题——理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，那么他就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺，如果他不给自己刮脸，那么他必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都导致这句话说不通。
21、理发师悖论由英国数学家、哲学家、社会的先知、言论自由最勇敢的斗士勃兰特·罗素教授于20世纪初提出。悖论的发表带来的巨大难题改变了整个20世纪数学界的研究方向。
22、于是，量子计算领域的研究猿纳撒尼尔·约翰斯(NathanielJohnston)把这些有趣的整数定义为一个整体，并将这些整体排成序列，像是质数、斐波那契数列、毕达哥拉斯数等。基于这个定义，约翰斯在2009年6月的博客里提出，第一个没有出现在序列里的数字是1162013年11月序列更新之后，他表示14228是最小的无趣数。
23、哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹:"上帝是存在的，因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。"
24、在这里，当我们以句式(1)去描述某个别(某蛤蟆)的时候，我们就会有一种很直观的想法，“绿色”作为一种颜色，它与其他颜色的区分是在我们描述它之前就已经存在的，某个在先的(aprior)使“蛤”为绿色的“绿”，使得我们能够做出这样的区分。这个“是其所是”之“是”(使其为“绿”的“绿”)，就是亚里士多德所谓的形式因，也是柏拉图整个理念论建构的原初直觉的想法。无论如何，只有那个一般的作为分类标准的“绿”是存在的，我们才能够对世界做出一个这样的描述。
25、错误的位置究竟在哪里，需要我们对于整个推理链条的仔细观察与反复推敲。
26、我们需要通过断舍离，抛弃头脑中无谓的干扰，回归初心，找到影响我们成长的要素，将其排列成相互咬合的系统，然后开始行动。而行动的结果又会给出正面的反馈，每一次的输出都是下一次的输入，像是多米诺骨牌一样，力量越来越大，改变由此发生。
27、在任何起点上要想学好数学，我们需要先理解相关问题，然后才能赋予答案的意义
28、罗素经过了弗雷格的一番点拨，发现罗素悖论产生的根源在于集合的定义。按康托尔的说法，任何具有一定性质的事物的类都可以构成集合，正是这种概括导致了罗素悖论，因为它所允许存在的“集合”太宽泛了。
29、其实这个语言悖论也体现在形式语言系统中，就是那个著名的“罗素悖论”。简单说来，我们可以构造一个集合S，这个集合内的所有元素X都不属于自身，用形式符号表示出来就是S=﹛x|x∉x﹜。有的读者可能就会问这有啥意义，现实世界并不存在“不是自己的东西”，我们先别管这个，因为按照符号形成的规则，这样构造出的集合是没有问题的。
30、那什么样的集合不能加入罗素集合呢？像“不吃香菜者集合”就不是罗素集合的成员。它虽然满足条件1“是个集合”，但不满足条件2！因为“不吃香菜者集合”也是它自身的成员！是的，“不吃香菜者集合”也是“不吃香菜”的！我们不管它的性质是“集合”还是空气还是其他的什么抽象的东西，你不能否定这个东西它就是不吃香菜。
31、19世纪末，康托尔发表了一系列关于集合论的文章，他创建的集合论是数学史上最具有革命性的理论之令人难以置信又无法反驳。起初他的集合论遭到了很多数学家的批判，甚至有人将他的理论视为异端。终于，在20世纪初，集合论才得到了公认，学界相信集合论是非常完备的理论，甚至可以说是整个现代数学的基础。
32、伽利略悖论、希尔伯特悖论，都是貌似为假，其实为真，这类悖论被蒯因统称为「verdicalparadox」，或者说证真式悖论，
33、村子里有一位理发师，他声称：“他给自己理发当且仅当他不给自己理发”，由此可以得出这样一位理发师不存在。论证过程如下：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。
34、那么，问题就来了，我能不能完全不依靠外力而自己产生“写作没有意义”的想法而停止写作呢？答案是肯定的。我们可以很容易设想这样一个情景：我在写作过程中，突然自己就开始反思写作的意义然后放弃写作，抑或是我突然想去干别的事情而暂时停止写作。
35、由著名数学家伯特兰·罗素(Russel，1872—1970)提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
36、典型的证假式悖论(falsidicalParadox)，是大数学家德·摩根( AugustusDeMorgan)的2=1悖论。
37、如果他不给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，他就要给自己刮胡子。
38、这三扇门造成的选择困难症，其实就是著名的蒙提·霍尔悖论(MontyHallproblem，又称三门悖论)，这一悖论来源于美国电视节目《让我们做个交易》(Let’sMakeaDeal)。
39、数学家发现了欧几里得空间，从而数学从研究一个个具体的点、函数，转而研究所有点、函数组成的空间。后来随着空间的研究出现了拓扑。
40、首先，部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数的集合必定大于单独的平方数。然而，对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，切对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。这个悖论虽然不是最早但也是早在无限集合中运用一一对应的例子。伽利略在书中总结说，少、相等和多只能描述有限集合，却不能描述无限集合。
41、《数学史》把数学几千年的发展浓缩为这本编年史中。从希腊人到哥德尔，数学一直辉煌灿烂，名人辈出，观念的潮涨潮落到处清晰可见。而且，尽管追踪的是欧洲数学的发展，但并没有忽视中国文明、印度文明和阿拉伯文明的贡献，是一部经典的关于数学及创造这门学科的数学家们的单卷本历史著作。读了这本书，让我对数学学习有了新的认识和感悟，也让我更深层次的了解到数学的魅力和伟大，以及对前人的崇敬。
42、是不是感觉像遇到了魔术表演？都欺骗了我们的直觉感官，但其实是假的。
43、曾经走过的路，再次出现也应该有很多不同的感受。与大师为伍是笔者个人的梦想，多年来梦想当一名作家，阴差阳错笔者从事数学教学，笔者夙愿写一本庞大古今纵横数学思想方法理论综述及丰富案例，但始终在写写停停，今天遇到这个问题，回想到罗素写书经历，给了我很大的触动，笔者相信幸运女神也许不能对我们有所偏爱，但是如果我们能走在大师走过的路上，心有所悟，那也一样可以做到像大师们一样始终保持：对知识的渴追求、对人生的怜悯、对爱的渴求。
44、第一次数学危机跟初中的知识有关。我们都学过勾股定理，西方称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊一个很厉害的数学家和哲学家，他创立了一个教派——毕达哥拉斯学派，自己当教主，有好多信徒。这个教派有一个基本信念：万物皆数。也就是说，世界上所有的事物都由整数构成。要么是整数，要么是整数之比。信徒们都觉得太精妙了，崇拜不已。但好景不长，学派里有一个普通教徒，名叫希伯索斯，没事做去研究单位正方形的对角线长度。最后发现对角线的长度不能表达为两个整数之比。今天我们知道，边长为1的正方形，对角线长度是√√2是无理数，不能表达为两个整数之比。这个发现震惊了毕达哥拉斯学派，这还得了！怎么解决这个问题呢？大家商量了一下，决定把希伯索斯弄到船上，把船开到海里，把希伯索斯丢入大海。
45、✎我们这个小小星球，已经挨了多少次核弹爆炸？
46、正如康德的名言那样：要有勇气运用你自己的理智。■
47、怎么理解当π设定为小数点后的几位止了的计算是表示形式，不设止点数为表达形式。
48、在这个寒假，我阅读了一本名叫《这才是好读的数学史》这本书叫这个名字确实是名副其实，他为人们介绍了最全面的数学史，以及名人与数学之前的故事，还有各国数学的起源到发展。
49、现在的问题就是：人类思维为何能进行自指和跳出系统？很显然，“天性”这种说法过于笼统！我们需要细致分析。
50、概述：天文学的基本假设是，苍茫宇宙间，地球是一颗在平常不过的星球。NASA(美国宇航局)的开普勒卫星发现，银河系内很可能存在着110亿个类似地球的星球。
51、这本从1910年到1913年出版的《数学原理》三卷，是罗素和怀特海的巨著。两位数学家用十年的时间，写成的巨著。在以后的几年时间里卖出了几百本。罗素说：“据我所知只有6个人通读了这本书的后面部分，其中三个人是波兰人，后来(我估计)他们被希特勒杀害了。另外三个是德克萨斯人，后来他们成功地吸收了这本书的精华。”
52、蒯因认为，这个矛盾表明村里没有这样一位理发师。然而奇怪的是，有没有这样一位理发师，显然是一个经验问题。
53、匹诺曹悖论和匹诺曹本身没有关系，如果匹诺曹说“我生病了”，这句话是可以判定真伪的，但是匹诺曹说的是“我的鼻子马上会变长”，就无法判定真伪，我们无法得知匹诺曹的鼻子到底会不会变长。
54、如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人。但是，招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
55、西元前6世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯(Epimenides)说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”这句话有名是因为它是一个经典悖论，即“说谎者悖论”。因为如果埃庇米尼得斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言。
56、「当然，一个二律背反悖论带来的冲击，除了对旧概念修改舍弃外，无法解决。」
57、 Thepointofphilosophyistostartwithsomethingsosimpleasnottoseemworthstating,andendwithsomethingsoparadoxicalthatnoonewillbelieveit.
58、也正是因为这种主动的自指能力，所以人才成为人！换句话说，因为自由，所以混乱(悖论)！那么，从这个意义来看，语言既是魔鬼也是天使！
59、纵观全书，数学的发展是由一群人搭建起来的。前人的工作为后人的研究奠定了基础。后人在前人的工作上不断突破和创新。另外，数学中也有哲理，天地有大美而不言。当看到欧拉时，想到欧拉公式；看到韦达，想到韦达定理。公式很简洁，但把规律说清楚了。数学爱好者可以试着解里面的数学题，看看古人在当时是如何研究的，有的方法很笨拙，有的方法很巧妙。读完后，发现学习数学，会解几道数学题是不够的，还要学会去培养自己的思维。毕竟数学家的思维也会受到历史的局限。比如负数开根号，当时被人看来是无法接受，后来发明了虚数。
60、阿基米德还发现了杠杆原理，他有一句名言：给我一个支点，我就能撬起整个地球。今天我们去宜家买家具回来自己安装，扳手之类的小工具必不可少。手指拧不动螺丝，用小扳手易如反掌。这就是杠杆原理的应用。